RELASI REKURSI

RELASI REKURSI

SOAL DAN PEMBAHASAN

 1.      Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98

a)      an= 7n (2) , n > 1

b)      an= 7n (1) , n > 0

c)      an= 7n , n > 2

d)      an = 7n (2) , n > 0

Pembahasan :

Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0  a2 = 7 a1 = 7  (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0

Sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh:

a3 = 7 a2 = 7 (7 pangkat 2 a0) = 7 pangkat 3 a0 .......... dan seterusnya

Sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah an = 7n (2) , n > 0

 2.      Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1).

Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.

Ditanya : Hitunglah c5 !

a)      C5 = 90

b)      C5 = 92

c)      C5 = 84

d)      C5 = 94

Pembahasan :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

·        c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5

·        c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12

·        c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33

·        c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94

Jadi, c5 = 94

 3.       Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas

b0 = 0 , b1 = 1 

a)      bn(h) = (-3)n + .2n

b)      bn(h) = 3n + .2n

c)      bn(h) = (-2)n + .3n

d)      bn(h) = (-3)n + .2n

Pembahasan :

Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n

 4.      Tentukan solusi dari relasi rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !

a)      an (n) = (A 1 n + A 2 ) (-3) n

b)      an (n) = (A 1 n + A 2) (-4) n

c)      an (n) = (A 1 n + A2) (-5) n

d)      an (n) = (A 1 n + A 2) (-6) n

Pembahasan :

Relasi rekurensi homogen : an + 6an-1 + 9an-2 = 0.
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .

 5.       Berapa banyakkah bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100..?

a)      90

b)      9

c)      5

d)      10

    Pembahasan :

    Dari tabel di atas, terlihat bahwa bilangan Fibonacci yang terletak antara 10 hingga 100 adalah            sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34), suku ke-9 (55), dan        suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah 5.  

 6.       Dengan mengambil satu harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan tersebut mulai       dari f1 sampai dengan fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu > 150..?

a)      9

b)      10

c)      11

d)      15

Pembahasan :

Dari tabel di atas juga, dapat kita ketahui bahwa nilai n terkecil agar jumlah seluruh bilangan Fibonacci dari f1 hingga fn> 150 adalah sebesar 10 (n=10), yang akan menghasilkan jumlah sebesar 231 (diperoleh dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89, yang merupakan bilangan Fibonacci dari suku ke-1 hingga suku ke-10). Sehingga, jawaban yang benar adalah 10.

 7. Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi dari :

a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 = 2ⁿ .

a)      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  , a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ

b)      a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ

c)      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ 

d)      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1) a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

Pembahasan :

Relasi rekurensi homogen :                                         a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 =0.

Persamaan karakteristiknya adalah                          a²  +  4 a  + 4 = 0

(a+ 2) (a + 2) = 0

Hingga diperoleh akar-akar karakteristik                a₁ = a₂ = -2 ,  m = 2,

Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk

 a_n^(h)  = (A₁n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  ,a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

 8.       Tentukan solusi umum dari relasi rekursi dan 0=9

a)       5 + (n) (n+1) (4n+2)

b)      9 + (n) (n+2) (2n+1)

c)      2 + (n+2) (n) (n+2n)

d)      9 + (n) (n+1) (2n+1)

Pembahasan :

f(n) = sehingga solusi umumnya :

n = 0 + (i)

= 0 + 2

= 0 + 2

= 9 + (n) (n+1) (2n+1)

 9.      Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!

a)      2n

b)      4n

c)      n

d)      2

Pembahasan :

Dengan interasi diperoleh :

Sn = 2Sn-1

= 2 (2Sn-2) = 2Pangkat2 Sn-2                      

= 2pangkat3Sn-3

= ………

= 2nS0

= 2n

 10.   Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi 4 a_n - 20 a_n-1 + 17 a_n-2 – 4 a_n-3 = 0.

a)      a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (½)ⁿ + A1 . 4ⁿ.

b)      a_n^(h)  = (A₂ n - A₁ ) (½)ⁿ + A₃ . 4ⁿ.

c)      a_n^(h)  = (A₁ n - A₂ ) (½)ⁿ + A₃ . 3ⁿ.

d)      a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (½)ⁿ + A₃ . 4ⁿ.

Pembahasan :

Persamaan karakteristiknya           :                              4 a³  - 20 a² + 17 a  - 4 = 0

Akar-akar karakteristiknya            :                              ½ , ½  dan   4

             Solusi homogennya berbentuk     :                              a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (½)ⁿ + A₃ . 4ⁿ.

Pengetahuan Teknologi Internet dan New Media (Aplikasi Mengenal Hewan)

saya selaku anggota dari kelompok 9 akan  menjelaskan progress yang saya kerjakan dalam mengerjakan tugas pembuatan aplikasi. saya sendiri bertugas sebagai editor untuk tampilan aplikasi kami. kami menamai apliakasi kami "A-Learn". A-Learn adalah aplikasi yang diperuntukkan untuk anak kelas 5 Sd kebawah. A-Learn  adalah aplikasi yang berisi tentang materi dan quis menarik tentang binatang. dengan aplikasi ini para penggunanya dapat mengetahui nama-nama biologis hewan, habitat, dan data spesifik tentang hewan yang dipilih. Berikut adalah editing tampilan awal dari saya untuk aplikasi A-Learn.

MANUSIA DAN KEINDAHAN

• Manusia

         Manusia adalah makhluk ciptaan ALLAH swt yang paling sempurna dibandingkan dengan makhluk lainnya, karena manusia mempunyai akal dan pikiran untuk berfikir secara logis dan dinamis, dan bisa membatasi diri dengan perbuatan yang tidak dilakukan, dan kita pun bisa memilih perbuatan mana yang baik (positif) atau buruk (negatif) buat diri kita sendiri. Selain itu dapat diartikan manusia secara umum adalah manusia sebagai makhluk pribadi dan makhluk sosil. Karena bukan hanya diri sendiri saja tetapi manusia perlu bantuan dari orang lain. Maka sebab itu manusia adalah makhluk pribadi sekaligus makhluk sosial. Keindahan berasal dari kata indah, artinya bagus, permai, cantik, elok, molek dan sebagainya. keindahan adalah suatu hal yang memiliki definisi yang luas dan pandangan mengenai keindahan masing-masing berbeda dari setiap ahli, tergantung bidang yang luas dan pandangan mengenai keindahan masing-masing berbeda dari setiap ahli, tergantung bidang yang digeluti oleh orang tersebut. keindahan atau ''beauty'' adalah sifat dari sesuatu yang memberi kita rasa senang bila melihatnya 

•  Keindahan

        Keindahan adalah suatu hal yang memiliki definisi yang luas dan pandangan mengenai keindahan masing-masing berbeda dari setiap ahli, tergantung bidang yang luas dan pandangan mengenai keindahan masing-masing berbeda dari setiap ahli, tergantung bidang yang digeluti oleh orang tersebut. keindahan atau ''beauty'' adalah sifat dari sesuatu yang memberi kita rasa senang bila melihatnya. Keindahan juga dapat memberikan kita rasa keingintahuan tentang hal tersebut semakin terus bertambah. contohnya jika kita bermusik, kita akan semakin mencari 'feel' apa yang cocok untuk hati kita. benda yang mempunyai sifat indah ialah segala hasil seni, meskipun tidak semua hasil seni indah, atau sifat-sifat yang merujuk kepada sesuatu yang indah dimana manusia mengekspresikan perasaan indah tersebut melalui berbagai hal yang mengandung unsur estetis yang dinilai secara umum oleh masyarakat. Herbet Read merumuskan bahwa keindahan adalah kesatuan dan hubungan-hubungan bentuk yang terdapat diantara pencerapan-pencerapan indrawi manusia. Filsuf abad pertengahan Thomas Amuinos mengatakan bahwa keindahan adalah sesuatu yang menyenangkan bilamana dilihat. 

        Keindahan dapat dikelompokkan jika dilihat dari beberapa persepsi tentang keindahan berikut ini, yaitu:

1. Keindahan dapat terlepas sama sekali dari kebaikan (Winehelmann).

2. Keindahan adalah yang memiliki proporsi yang harmoncis. Karena proporsi yang harmonis itu nyata, maka keindahan itu dapat disamakan dengan kebaikan. Jadi, yang indah adalah nyata dan yang nyata adalah yang baik (Shaftesbury). .

3. Keindahan hanyalah yang baik. Jika belum baik ciptaan itu belum indah. Keindahan harus dapat memupuk perasaan moral. Jadi ciptaan-ciptaan yang amoral tidak bisa dikatakan indah, karena tidak dapat digunakan untuk memupuk moral (Sulzer).

4. Keindahan adalah sesuatu yang rnendatangkan rasa menyenangkan bagi yang melihat (Tolstoy);

5. Keindahan adalah keseluruhan yang merupakan susunan yang teratur dari bagian-bagian yang saling berhubungan satu sarna lain, atau dengan keseluruhan itu sendiri. Atau, beauty is an order of parts in their manual relations and in their relation to the whole (Baumgarten).

 6. Keindahan adalah sesuatu yang dapat mendatangkan rasa senang (Hume).

7. Yang indah adalah yang paling banyak mendatangkan rasa senang, dan itu adalah yang dalam waktu sesingkat-singkatnya paling banyak memberikan pengalaman yang menyenangkan (Hemsterhuis). Menurut saya keindahan yang dirasakan oleh setiap manusia itu berbeda-beda tergantung dari pandangan manusia tersebut, bila keindahan itu benar dirasakan maka manusia itu akan merasa tentram dan nyaman. hal yang membuat perbedaan keindahan pada setiap manusia adalah kadar pengetahuan manusia itu sendiri akan nilai estetika, karena perbedaan inilah yang membuat penilaian setiap manusia akan keindahan selalu berbeda-beda.

• Hubungan Manusia dan Keindahan

      Manusia dan keindahan memang tak bisa dipisahkan sehingga kia perlu melestarikan bentuk dari keindahan yang telah dituangkan dalam berbagai bentuk kesenian (seni rupa, seni suara maupun seni pertunjukan) yang nantinya dapat menjadi bagian dari suatu kebudayaan yang dapat dibanggakan dan mudah-mudahan terlepas dari unsur politik. Kawasan keindahan bagi manusia sangat luas, seluas keanekaragaman manusia dan sesuai pula dengan perkembangan peradaban teknologi, sosial, dan budaya. Karena itu keindahan dapat dikatakan, bahwa keindahan merupakan bagian hidup manusia. Keindahan tak dapat dipisahkan dari kehidupan manusia. Dimanapun kapan pun dan siapa saja dapat menikmati keindahan.
       Sesuai dengan sifat kehidupan yang menjasmani dan merohani, maka kehendak atau keinginan manusia itupun bersifat demikian. Jumlahnya tak terbatas. Tetapi jika dilihat dari tujuannya, satu hal sudah pasti yakni untuk menciptakan kehidupan yang menyenangkan, yang memuaskan hatinya. sudah bukan rahasia lagi  bahwa "yang mampu menyenangkan atau memuaskan hati setiap manusia itu tidaklain hanyalah sesuatu yang"baik", yang "indah". maka "Keindahan pada hakikatnya merupakan dambaan setiap manusia karena dengan keindahan itu manusia merasakan nyaman hidupnya. dengan adanya keinginan-keinginan tersebut, manusia menggunakan nafsunya untuk mendorong hasrat atau keinginan yang dipikirkan atau direnungkan oleh sang akal tadi agar bisa terrealisasikan. ditambah lagi dengan anugrah yang diberikan-Nya kepada kita (manusia) yakni berupa hati, dimana dengan hati ini manusia dapat merasakan adanya keindahan, oleh karena itu mansia memiliki sensibilitas esthetis.

• Contoh Kasus

          Contoh Kasus adalah aliran sungai pada sungai Gangga pada gambar diatas, bila dilihat oleh mata akan terasa beberapa warna yang dapat memanjakan mata, bila didengar akan terdengar gemericik air yang mengalir lembut, sinar matahari yang menembus kedalam air menciptakan warna baru seperti warna emas yang memantulkan secercah warna diatas air. itulah contoh keindahan menurut saya.

• Opini

          Menurut saya keindahan yang dirasakan oleh setiap manusia itu berbeda-beda tergantung dari pandangan manusia tersebut, bila keindahan itu benar dirasakan maka manusia itu akan merasa tentram dan nyaman. hal yang membuat perbedaan keindahan pada setiap manusia adalah kadar pengetahuan manusia itu sendiri akan nilai estetika, karena perbedaan inilah yang membuat penilaian setiap manusia akan keindahan selalu berbeda-beda.


Sumber :

- http://aliftiyaa.blogspot.co.id/2014/11/contoh-kasus-manusia-dan-keindahan.html
- http://09pandhika.blogspot.co.id/2015/05/manusia-dan-keindahan.html
- http://oebudhi.blogspot.co.id/2012/04/manusia-dan-keindahan.html            - https://irnasianipar.wordpress.com/2012/10/29/manusia-dan-keindahan/          - https://hadi27.wordpress.com/rangkuman-manusia-dan-keindahan-serta-manusia-dan-penderitaan/